combinatorial optimization - reading 1

1 introduction

组合优化(Combinatorial optimization)是在有限目标集合中寻找最优目标的过程。

1960年，Edmonds 提出多项式时间来衡量算法是否有效。1970年，Cook和Karp发现NP问题。之后人们对各种组合优化问题进行研究，然后就产生了最大的谜团-N和NP的关系。

本书关注：P问题，P问题所相关的多面体(polyhedra)及其最大最小对偶问题

2 Matching

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question: 不等式描述的polytope等价于G的matching的polytope的证明，ellipsoid method

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我们可以通过将matching转化为LP问题来解决

matching: a subset of edges,and every edge is disjoint

我们一般都是想求解一个最优化问题，一般我们想得到maximum matching

我们首先对每个匹配M进行向量化处理(1)变成$X^M\in R^E$
$$
X^M(e)=\left{
\begin{aligned}
1, e\in M\
0, e\notin M \
\end{aligned}
\right.
$$
我们求最大匹配就是
$$
max{w^TX^M|M\ is\ matching\ in\ G}
$$
由于对这些向量的凸包进行最大化不改变最优化值，可以转化为
$$
max{w^Tx|x\in conv.hull{X^M|M\ is\ matching\ in\ G}}
$$
凸包$conv.hull{X^M|M\ is\ matching\ in\ G}\in R^E$ 是一个多面体

作为一个多面体，可以用矩阵来表述他(具体证明待写)

$conv.hull={x\in R^E|x\geq0,Ax\leq b}$

最后转化为，
$$
max{w^Tx|x\geq 0,Ax\leq b}
$$
然后我们就要来寻找A，b如何确定

2.2 约束不等式的确定

分为G是二部图和非二部图

case 1： G is bipartite
$$
for\ &x\in R^E\
& x(e)\geq 0,for\ e\in E\
& \sum_{v\in e}x(e)\leq 1,for\ v\in V
$$
这样$A\in R^{V\times E},x\in R^{E\times 1},b\in R^{V\times 1}$

并且可以证明这样不等式确定的多面体和G的匹配的多面体是等价的

case 2： G is non bipartite

不等式约束改变(待写)

3 TSP